Méthode : réussir un raisonnement par l’absurde

Le raisonnement par l’absurde est une méthode classique qu’il est important de connaître. Que ce soit dans vos DST, DM ou aux concours, il y aura généralement une question où on vous demandera d’utiliser ce raisonnement.

Découvrez dans cet article, les spécificités de cette méthode et comment utiliser cette méthode !

Les spécificités d’un raisonnement par l’absurde

Tout d’abord, il faut comprendre toutes les spécificités du raisonnement par l’absurde avant de l’appliquer dans les exercices, DM et DS.

Le raisonnement par l’absurde, comme son nom l’indique, est de raisonner avec une absurdité. 

Voyons les différentes étapes du raisonnement :

1. Il vous faut savoir ce que vous souhaitez montrer, le résultat que vous voulez obtenir.

2. Supposez le contraire du résultat que vous voulez montrer.

3. Montrer qu’avec la supposition, le résultat qu’on obtient n’a pas de sens, donc il est absurde.

4. Conclure quant à la question.

Pour vous entraîner avec cette méthode, le mieux est de retravailler les applications et démonstrations de votre cours qui utilise cette méthode. Ainsi, vous connaîtrez toutes les étapes du raisonnement par l’absurde.

Dans quelles situations utilise-t-on un raisonnement par l’absurde ?

Maintenant que vous connaissez la méthode, il vous faut la pratiquer et savoir dans quelles conditions, on peut appliquer un raisonnement par l’absurde.

Lorsque vous utilisez un raisonnement par l’absurde pour répondre à une question, le résultat qu’on attend de vous est le plus souvent négatif. Dans ce genre de question. Au lieu de montrer quelque chose par des calculs assez longs, on vous demandera simplement si oui ou non l’hypothèse est vraie.

Par exemple pour les matrices, lorsqu’on vous demande d’utiliser cette méthode. La forme de questions la plus récurrente est :

• La matrice A est-elle inversible ?

• La matrice A est-elle diagonalisable ?

Dans ces deux questions, on ne vous demande pas de montrer que la matrice A est inversible ou encore diagonalisable. 

Si c’était le cas les questions serai poser de la sorte :

• Montrer que la matrice A est inversible

• Montrer que la matrice A est diagonalisable

Lorsque la question vous est posée ainsi, on attend le plus souvent de vous un résultat positif. Donc, ici que la matrice A est inversible et/ou diagonalisable.

Pour répondre à ce type de questions, vous aurez à utiliser les méthodes d’inversion de matrice et de diagonalisation de matrice. 

Voyons comment utiliser le raisonnement par l’absurde dans ces deux questions

Exemple d’application 1 : La matrice A est-elle inversible ?

Au préalable, vous aurez sûrement calculé A2 et/ou A3 et vous aurez trouvé dans les questions précédentes.

Vous avez pour A2, une matrice avec des valeurs et pour A3, une matrice nulle.

Votre objectif sera de montrer un résultat négatif, donc que la matrice A n’est pas inversible. Pour montrer cela, supposez d’abord le contraire de votre résultat : « On suppose que la matrice A est inversible ».

Le but ensuite est de montrer que cette supposition est absurde. Vous savez que A3 = 0, si vous multipliez l’égalité à gauche et à droite par A-1, vous obtiendrez A2 = 0, ce qui est absurde car A2 est différent de la matrice nulle.

Vous concluez donc que la matrice A n’est pas inversible et c’est la fin de la question.

Vous appliquerez la même méthode si vous avez seulement la valeur de A2 = 0, avec A, une matrice contenant des valeurs.

Exemple d’application 2 : La matrice A est-elle diagonalisable ?

On a A, une matrice quelconque différente de la matrice identité I, et différente de la matrice nulle 0.

Avant cette question, vous aurez sûrement trouvé que l’unique valeur propre de A était soit 1, soit 0.

• Si l’unique valeur propre de A est 1 :
  Supposons que A est diagonalisable, vous avez ainsi P, une matrice inversible et D, une matrice diagonale avec que des 1 tel que D = I.
  Ensuite, vous avez que A = PDP-1 = PIP-1 = PP-1 = I. Or ce résultat est absurde car A est différent de la matrice identité.
  Vous concluez donc que la matrice A n’est pas diagonalisable.

• Si l’unique valeur propre de A est 0 :
  Supposons que A est diagonalisable, vous avez ainsi P, une matrice inversible et D, une matrice diagonale avec que des 0, donc que D = 0.
  Ensuite, on a que A = PDP-1 = P0P-1 = 0. Or ce résultat est absurde car A est différent de la matrice nulle.
  Vous concluez de la même manière que la matrice A n’est pas diagonalisable.

Résumé

• La méthode d’un raisonnement par l’absurde est la même, seule la troisième étape du raisonnement change selon le type de question

• Les questions qui nécessitent un raisonnement par l’absurde sont souvent des questions à résultat négatif (de la forme « est-il (elle) »)

  

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