Comment faire face à une intégrale impropre ?

Essentiel au sein du programme de mathématiques en CPGE, il est important de savoir comment bien faire face à une intégrale impropre ? 

Intégrale Impropre : Pourquoi se poser cette question existentielle ? 

Cette question n’a l’air de rien mais elle est fondamentale dans le programme de mathématiques du concours, en ECS, ECE, ECT ou même ECG. En effet, le programme de mathématiques des concours s’articule beaucoup autour des probabilités continues et variables aléatoires réelles dite « a densité ». Or, les densités de probabilités, les fonctions de répartitions, les espérances, les variances, les moments (centrés ou non), tous ces concepts sont en réalité des intégrales impropres cachées.

Il est donc essentiel de maitriser les intégrales impropres, et par maitriser on entend ici :

• Reconnaitre lorsqu’une intégrale est impropre
• Savoir la calculer si nécessaire
• Savoir la comparer à une intégrale impropre « classique » du cours pour en déterminer la nature (convergente ou divergente)

Les intégrales impropres jouent donc un rôle prépondérant dans les sujets de maths au concours.

Quels sont les réflexes à avoir devant une intégrale impropre ?

Lorsque l’on fait face à une intégrale impropre, il y a un certain plan d’étude à respecter qui permet de ne pas faire d’erreurs ou du moins de couvrir l’ensemble des possibilités. Nous allons ici distinguer deux étapes : 

Etape 1 : Localiser « l’impropreté » de l’intégrale pour vérifier si elle est (ou non) faussement impropre

• Si elle est impropre en un plus ou moins l’infini, alors l’intégrale ne peut pas être faussement impropre
• Si elle est impropre en un réel, alors il s’agit de vérifier si elle est faussement impropre.

Pour rappel : une intégrale est dite faussement impropre en un réel « a » si la fonction intégrée est prolongeable par continuité en « a ».

On vérifie donc si la fonction est prolongeable en « a » par continuité. Si tel est le cas, alors l’intégrale n’est plus impropre mais faussement impropre et on est donc ramené calcul d’un intégrale finie, classique (en utilisant les méthodes classiques : Intégration a vue, Intégration par parties, changement de variables).

Etape 2 : Si l’intégrale est toujours impropre, alors il s’agit de déterminer son comportement (convergente ou divergente) en la comparant à une intégrale de Riemann (intégrale classique du cours)

• Si l’intégrale diverge, alors l’étude s’arrête
• Si l’intégrale converge, alors on peut la calculer par les méthodes classiques (intégration a vue, Intégration par parties, changement de variable)

Alors maintenant plus d'excuse pour ne pas réussir à bien manipuler une intégrale impropre le jour du concours !