Méthode : les explications de la résolution par récurrence

La résolution par récurrence est une méthode que vous apprenez en première année de classe préparatoire. La récurrence est une méthode classique qui tombe fréquemment aux concours.

C’est pourquoi vous retrouverez toutes les explications concernant la résolution par récurrence et ses spécificités dans cet article !

Les spécificités de la résolution par récurrence

Le but de la récurrence est de montrer qu’une proposition est vraie pour l’ensemble des termes d’un ensemble ou d’un intervalle. Pour montrer cela, la méthode de la récurrence se constitue de trois étapes : 

1. L’initialisation

2. L’hérédité

3. La conclusion

Avant de commencer la récurrence, il vous faut énoncer ce que vous souhaitez montrer à travers cette méthode.

Exemple de phrase d’introduction à la résolution par récurrence : Montrons par récurrence, pour tout n ∈ ℕ, que P(n) : « la proposition que vous souhaitez montrer » est vraie.

Voyons maintenant la méthode pour chacune des étapes de la récurrence.

Tout d’abord l’initialisation, le but de l’initialisation est de montrer que la proposition est vraie pour le premier terme de l’ensemble, de l’intervalle.

En reprenant l’exemple plus haut, puisque notre ensemble de définition est ℕ, le premier terme pour lequel nous allons montrer que la proposition est vraie est 0.

Autre exemple : Si l’ensemble de définition était ℕ*, alors le premier terme pour lequel il faut montrer que la proposition est vraie serait 1.

Maintenant que vous avez montré l’initialisation, vient l’étape la plus compliquée de la récurrence, l’hérédité.

Le but de l’hérédité est de montrer que si la proposition est vraie pour un terme n, quelconque, alors la proposition est aussi vraie pour le terme suivant, donc vraie pour n+1.

Exemple d’introduction à l’hérédité : Soit n ∈ ℕ, supposons que P(n) est vraie, montrons maintenant que P(n+1) : « La proposition en n+1 » est vraie.

Attention à bien spécifier la proposition en n+1 et à ne pas se tromper dans son écriture !!

Dans l’hérédité, vous devrez utiliser à un certain moment le principe de récurrence, c’est-à-dire utiliser le fait que la proposition P(n) soit vraie pour arriver à P(n+1) soit par des implications, soit par des équivalences.

Attention, lorsque vous utilisez ce principe, il est primordial que vous l’énonciez avec une phrase à droite des implications / équivalence. Par exemple : à droite des implications / équivalences « Par principe de récurrence ».

Nous voilà maintenant arrivé à la dernière étape de la résolution, qui est la plus simple la conclusion.

Vous avez, avant d’arriver à la conclusion, montrer l’initialisation et l’hérédité.

Il vous fait maintenant conclure quant à cette résolution par récurrence.

Exemple de conclusion à la récurrence : Par principe de récurrence, nous avons montré que pour tout n ∈ ℕ, que P(n) : « la proposition que vous souhaitez montrer ».

Dans quelles situations utilise-t-on la résolution par récurrence ?

Maintenant que vous connaissez chacune des étapes de la récurrence, il vous faut maintenant savoir dans quelle situation l’utiliser !

Comme nous l’avons dit, la résolution par récurrence sert à montrer qu’une proposition est vraie pour tous les termes d’un ensemble ou d’un intervalle.

Lorsque vous voyez ce type de question : Montrer que pour tout n ∈ ℕ, … Souvent s’il n’y a pas de méthode simple pour montrer la proposition, une résolution par récurrence s’impose.

Par exemple, dans un exercice, vous avez une suite Un, quelconque, sa relation de récurrence, où Un+1 exprimé en fonction de Un, et son premier terme U0. On vous demande alors de montrer que cette suite Un avec n définie sur ℕ est strictement positif.
Dans ce cas, le meilleur moyen de montrer cela est d’utiliser la résolution par récurrence.

Résumé

• La résolution par récurrence se compose de trois étapes : Initialisation, Hérédité et Conclusion

• Elle sert à montrer qu’une proposition est vraie pour tous les termes d’un ensemble ou d’un intervalle

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